正方行列の対角和(トレース)の性質


正方行列の対角和(トレース)の定義と性質をメモしておきます。


■ トレースの定義

トレースとは、n次元正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の対角成分の和 \(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\) のことです。
(出典:岩波 数学入門辞典

\(\mathrm{ tr }\ A\) や \(\mathrm{ Tr }\ A\) と書きます。


■ トレースの性質

トレースには下記の性質があります。

(1) \(\mathrm{ Tr }\ (A+B) = \mathrm{ Tr } \ A + \mathrm{ Tr } \ B\)
(2) \(\mathrm{ Tr } \ (\alpha A) = \alpha \ \mathrm{ Tr } \ A\) (\(\alpha\) は複素数)
(3) \(\mathrm{ Tr } \ AB = \mathrm{ Tr } \ BA\)
(4) \(\mathrm{ Tr } \ MAM^{-1} = \mathrm{ Tr } \ A\)


・(1) の証明
$$\mathrm{ Tr }\ (A+B) = \sum_{i=1}^{n}(a_{ii} + b_{ii}) = \sum_{i=1}^{n}a_{ii} + \sum_{i=1}^{n}b_{ii} = \mathrm{ Tr } \ A + \mathrm{ Tr } \ B$$
・(2)の証明
$$\mathrm{ Tr } \ (\alpha A) = \sum_{i=1}^{n} \alpha a_{ii} = \alpha \sum_{i=1}^{n}a_{ii} = \alpha \ \mathrm{ Tr } \ A$$
・(3)の証明
$$\mathrm{ Tr } \ AB = \sum_{i=1}^{n} \ (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} b_{ji} a_{ij} = \mathrm{ Tr } \ BA$$
・(4)の証明
(3)を使って
$$\mathrm{ Tr } \ MAM^{-1} = \mathrm{ Tr }\ (MA)M^{-1} = \mathrm{ Tr } \ M^{-1}{MA} = \mathrm{ Tr } \ A$$


参考:
キーポイント行列と変換群 (理工系数学のキーポイント (8))

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