空間と時空の距離の違い


空間に時間軸を追加したのが時空です。

空間は「ユークリッド空間」で考えることが多いです。
時空は、「ミンコフスキー時空(ミンコフスキー空間とも呼ぶ)」で考えることが多いです(特殊相対論の場合。一般相対論の場合は「リーマン空間」)。

ユークリッド空間では、2点 \(A(x_1, x_2, \cdots), \ B(y_1, y_2, \cdots)\) の距離 \(d\) は
$$d \equiv \sqrt{(y_1 – x_1)^2 + (y_2 – x_2)^2 + \cdots + (y_n – x_n)^2}$$で定義されます(理化学辞典「ユークリッド空間」より)。

一方ミンコフスキー時空では、時間座標の差が\(dx^0\)、空間座標の差が \(d\vec{x}\) である2点間の距離の2乗を
$$(ds)^2 \equiv (dx^0)^2 \color{red}{-} (d \vec{x}^2)$$ と定義します(理化学辞典「時空」より)。
これはローレンツ変換しても不変な量です。



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