微分は dy か dy/dx か?


大学で「全微分」を「\(df\)」と書く、と初めて聞いたとき戸惑いませんでしたでしょうか?

高校では微分といえば \(\frac{df}{dx}\) という分数の形(=導関数のこと)だったからです。
なぜ「全」がつくと分数じゃなくなるのか?と。

しかも偏微分は相変わらず \(\frac{\partial f}{\partial x}\) と分数の形で書きます。

ややこしいので表に整理してみましょう。


上の表にあるように、モヤモヤしているのは

1変数関数 \(f(x)\) の「微分」とは、\(df(x)\) のことなのか、それとも \(\frac{df(x)}{dx}\) のことなのか?

ということです。高校では後者で習ったと思います。


世界的にはどのように合意されているのかな?と思い英語版 Wikipedia で調べてみました。
「微分」に相当する英単語は「differential」だと思います。

differential の説明には何と書かれているかというと・・・

In mathematics, differential refers to infinitesimal differences or to the derivatives of functions.

(おーにし訳)
数学では、微分とは無限小の差、または導関数のことを差す。


今の疑問にあてはめると、「無限小の差(infinitesimal differences)」とは \(df(x)\) のことで、「導関数(derivatives of functions)」とは(Wikipedia「Partial derivative」によると) \(\frac{df(x)}{dx}\) のことですね。

つまり

1変数関数 \(f(x)\) の「微分」とは、増分\(df(x)\) を指すこともあれば、導関数\(\frac{df(x)}{dx}\) を指すこともある

ということなので、文脈によって使い分ける感じですかね。




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