2階偏微分方程式の種類を簡易的に見分ける方法


物理の法則はだいたい微分方程式で書かれています。
中でも「2階偏微分方程式」は頻出です。

2変数関数 \(u(x,y)\) に関する2階偏微分方程式は、一般的にこんな形をしています。
$$A \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + D \frac{\partial u}{\partial x} + E \frac{\partial u}{\partial y} + Fu = G \tag{1}$$(\(A,B,C,D,E,F,G\) は \(x\) と \(y\) の関数(定数でもよい))

そして2階偏微分方程式には3つのタイプ(型)があり、型によって性質が特徴づけられます。

3つのタイプとは、
① 双曲型 ② 放物型 ③ 楕円型
です。

ある2階偏微分方程式がどのタイプに属するかは、数学の教科書では次のように判別されると書いてあります。

・\(B^2 – 4AC \gt 0\) ・・・双曲型
・\(B^2 – 4AC = 0\) ・・・放物型
・\(B^2 – 4AC \lt 0\) ・・・楕円型

しかしこれを実際計算しようとすると結構大変なことも多いです。

そこで物理の問題を解くうえでは、私は2階偏微分方程式のタイプを、実用的には次のように判別しています。
2階偏微分方程式のタイプを簡易的に判別する方法

2階偏微分方程式のタイプを簡易的に判別する方法

まずは変数に t(時間)が入っているかどうかをチェックします。

tが入っていなければ楕円型と予測できます。

tが入っている場合は、さらにそれは t による1階微分か2階微分かをチェックします。
1階微分なら放物型と予測できます。
2階微分なら双曲型と予測できます。
だいたいこれでイケます。


■ おまけ:変数変換で解きやすいタイプに変換したりはできません

「変数変換すれば解きやすい型に変形できるのでは?」とひらめいた方もいるかもしれませんが、残念ながらそれはできません。

理由は、変数変換を \(\xi = \xi(x,y), \eta = \eta(x,y)\) とすると、
$$(B’)^2 – 4A’C’ =\cdots= (B^2 – 4AC) \left( \frac{\partial \xi}{\partial x}\frac{\partial \eta}{\partial y} – \frac{\partial \xi}{\partial y}\frac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2 \tag{2}$$となり、右辺の2つ目の括弧の2乗が正なので、座標変換しても\(B^2 – 4AC\) の符号が変わらないからです(上の式変形の詳細はこちらにPDFをアップロードしました)。

(2)の2つ目の括弧がゼロにならない理由は、2つ目の括弧は変数変換のヤコビアンを表しているので、これがゼロになるということは変換後の基底が1次独立でないことになるからです。
変換後の基底が一時独立でない例として例えば \(\xi = x+y, \eta = 3x+3y\) という変数変換を考えると、上式より \((B’)^2 – 4A’C’=0 \) となりますが、\((x,y)=(1,1)\) も \((x,y)=(1,2)\) も \((\xi, \eta) = (1, 3)\) に変換されてしまうので1対1の対応ではなくなってしまいます。変数変換は1対1の対応がなくてはなりません。



参考:
偏微分方程式―科学者・技術者のための使い方と解き方


キーポイント偏微分方程式 (理工系数学のキーポイント 10)


OKWAVE「変数変換の条件を教えてください」

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