各種直交座標系での grad, div, rot 一覧


各種直交座標系での勾配(grad:グラディエント)、発散(div, ダイバージェンス、湧き出し)、回転(rot、ローテーション)、ラプラシアンの一覧です。
他のサイトにも載っていると思いますが、一応このサイトにも載せておきます。

2次元

■ 一般的な直交曲線座標系 \( (x_1, x_2) \)
スケール因子(こちらで説明)を \((h_1, h_2)\) とすると
\begin{eqnarray}

\nabla f &=& \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial x_1}\vec{e_1} + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f }{\partial x_2}\vec{e_2} \\

\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{1}{h_1 h_2} \left\{ \frac{\partial}{\partial x_1}(h_2 A_1 ) + \frac{\partial}{\partial x_2}(h_1 A_2) \right\} \\

\nabla \times \vec{A} &=& \frac{1}{h_1 h_2}
\begin{vmatrix} h_1 \vec{e_1} & h_2 \vec{e_2} & \vec{e_3} \\
\frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \frac{\partial}{\partial x_3} \\
h_1 A_1 & h_2 A_2 & 0 \end{vmatrix}\\

\nabla^2 f &=& \frac{1}{h_1 h_2} \left\{
\frac{\partial}{\partial x_1}\left( \frac{h_2}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1} \right)
+\frac{\partial}{\partial x_2}\left( \frac{h_1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2} \right)
\right\}

\end{eqnarray}
■ デカルト座標系(=直交座標系、カーテシアン座標系)\((x,y,z)\)
(スケール因子に \( (h_1,h_2)=(1,1) \) を代入すると得られる)
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{\partial f }{\partial x}\vec{e_x} + \frac{\partial f }{\partial y}\vec{e_y} \\
\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} \\
\nabla \times \vec{A} &=&
\begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & 0 \end{vmatrix}\\
\nabla^2 f &=& \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{eqnarray}
■ 極座標系 \( (r,\theta) \)
(スケール因子に \( (h_1,h_2)=(1,r) \) を代入すると得られる)
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{\partial f }{\partial r}\vec{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f }{\partial \theta}\vec{e_\theta} \\

\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{1}{r} \left\{\frac{\partial}{\partial r}(r A_r) + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right\} \\

\nabla \times \vec{A} &=& \frac{1}{r}
\begin{vmatrix} \vec{e_r} & r \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\

\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_r & r A_\theta & 0 \end{vmatrix}\\

\nabla^2 f &=&
\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right)
+\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
\end{eqnarray}

3次元

■ 一般的な直交曲線座標系 \( x^1, x^2, x^3 \)
スケール因子を \((h_1, h_2, h_3)\) とすると
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial x^1}\vec{e_1} + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f }{\partial x^2}\vec{e_2} + \frac{1}{h_3}\frac{\partial f }{ \partial x^3}\vec{e_3} \\
\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left\{ \frac{\partial}{\partial x^1}(h_2 h_3 A_1 ) + \frac{\partial}{\partial x^2}(h_3 h_1 A_2) + \frac{\partial}{\partial x^3}(h_1 h_2 A_3 ) \right\} \\
\nabla \times \vec{A} &=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix} h_1 \vec{e_1} & h_2 \vec{e_2} & h_3 \vec{e_3} \\
\frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\
h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \end{vmatrix}\\
\nabla^2 f &=& \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left\{
\frac{\partial}{\partial x^1}\left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x^1} \right)
+\frac{\partial}{\partial x^2}\left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x^2} \right)
+\frac{\partial}{\partial x^3}\left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x^3} \right)
\right\}
\end{eqnarray}
■ デカルト座標系(=直交座標系、カーテシアン座標系)\((x,y,z)\)
(スケール因子に \( (h_1,h_2,h_3)=(1,1,1) \) を代入すると得られる)
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{\partial f }{\partial x}\vec{e_x} + \frac{\partial f }{\partial y}\vec{e_y} + \frac{\partial f }{\partial z}\vec{e_z} \\
\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\
\nabla \times \vec{A} &=&
\begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}\\
\nabla^2 f &=& \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{eqnarray}
■ 円柱座標系 \( (r,\theta, z) \)
(スケール因子に \( (h_1,h_2,h_3)=(1,r,1) \) を代入すると得られる)
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{\partial f }{\partial r}\vec{e_r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f }{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{\partial f }{\partial z}\vec{e_z} \\
\nabla \cdot \vec{A} &=& \frac{1}{r} \left\{\frac{\partial}{\partial r}(r A_r) + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + r\frac{\partial A_z}{\partial z} \right\} \\
\nabla \times \vec{A} &=& \frac{1}{r}
\begin{vmatrix} \vec{e_r} & r \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
A_r & r A_\theta & A_z \end{vmatrix}\\

\nabla^2 f &=& \frac{1}{r} \left\{
\frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right)
+\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)
+\frac{\partial}{\partial z}\left( r \frac{\partial f}{\partial z} \right)
\right\}
\end{eqnarray}
■ 極座標系 \((r, \theta, \phi)\)
(スケール因子に \( (h_1,h_2,h_3)=(1,r,r\sin{\theta}) \) を代入すると得られる)
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \frac{\partial f }{\partial r}\vec{e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f }{ \partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial f }{ \partial \phi}\vec{e_\phi} \\

\nabla \cdot \vec{A} &=&
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r)
+ \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta}A_\theta)
+ \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}(A_\phi) \\

\nabla \times \vec{A} &=& \frac{1}{r^2\sin{\theta}}
\begin{vmatrix} \vec{e_r} & r \vec{e_\theta} & r\sin{\theta} \vec{e_\phi} \\

\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\
A_r & r A_\theta & r\sin{\theta} A_\phi \end{vmatrix}\\

\nabla^2 f &=&
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)
+\frac{1}{r^2 \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin{\theta} \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)
+\frac{1}{r^2 \sin^2{\theta}} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
\end{eqnarray}

スケール因子(スケールファクター)とは?


位置ベクトル \(\vec{X}\) を、各基底方向に偏微分したベクトルの大きさのことです。
例えば2次元極座標の \( h_\theta \) は、
\begin{eqnarray}h_\theta &=& \left|\frac{\partial \vec{X}}{\partial \theta} \right|
= \left|\frac{\partial }{\partial \theta} \begin{pmatrix} r \cos{\theta} \\ r \sin{\theta} \end{pmatrix}\right|
= \left| \begin{pmatrix} -r \sin{\theta} \\ r \cos{\theta} \end{pmatrix}\right|=r \end{eqnarray}


参考:
http://akita-nct.jp/yamamoto/study/electromagnetics/laplacian/html/node2.html
http://wasan.hatenablog.com/entry/20110529/1306668198
http://wasan.hatenablog.com/entry/2011/05/30/202421
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-19.html
物理のためのベクトルとテンソル p.166

演習ベクトル解析 (サイエンスライブラリ演習数学 9)

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