「コーシーの積分定理」と「コーシーの積分公式」の違いの覚え方


■ コーシーの積分定理、コーシーの積分公式とは


「コーシーの積分定理(Cauchy’s integral theorem)」は「複素関数を、内部に特異点を含まずに周回積分するとゼロになる」というものです。
$$\oint_C f(z)dz = 0 \tag{1}$$
一方「コーシーの積分公式(Cauchy’s integral expression)」は「複素関数を、\(z-a\)で割って内部に \(a\) を含んで周回積分すると \( 2\pi i f(a) \) になる」というものです。
$$\oint_C \frac{f(z)}{z-a}dz={2\pi i}f(a) \tag{2}$$

■ どっちがどっちかの覚え方

内容さえ頭に入っていればどちらが「定理」でどちらが「公式」なのかは本質ではないと思います。
でも例えば本を読んでいて「コーシーの積分定理より」と書かれていたときに、どっちのことだったが思い出せずにその度に調べるのは面倒ではないでしょうか。

というわけで私の覚え方をご紹介します。

言葉として「定理」と「公式」の違いは微妙ですが、個人的には
「定理」の方が「公式」よりもシンプルで根源的なイメージです。

このことを覚えておけば、(1)(2)のうちよりシンプルなのは(1)の方ですので「定理が(1)、公式が(2)」と思い出すことができます。

もっといい覚え方があったら教えてください。


参考:
複素関数とその応用 ―複素平面でみえる物理を理解するために― (フロー式 物理演習シリーズ 2)



  


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